Formula derivada, derivada del producto, derivada de un cociente y regla de la cadena.

TEMAS:

*Formula derivada.

*Derivada del producto.

*Derivada de un cociente.

*Regla de la cadena.


FORMULA DERIVADA.
La derivada es una función continua con respecto a una variable, el incremento de la función del Δy y es dividido entre Δx.
La derivada es uan tasa de cambio promedio, se aplica para el cálculo de una tasa de crecimiento de una población, de la velocidad o de el tiempo en la que se propaga, etc.



REPRESENTACIONES DE LA DERIVADA:
derivada y, f(x), dy/dx, df/dx= Dxy.
(el simbolo de ^ en las ecuaciones significa elevado).

REGLA GENERAL DE LA DERIVADA:
f(x)=〖ax〗^(n-1)
El exponente se multiplica por el numero grande, don esto te daría a un numero y para agregar el exponente se usa el mismo solo que restándole uno y ese seria el exponente.

Ejemplos:
a)〖6x〗^2= 12x
b)8x= 8
c)〖10x〗^2-6x= 20x-6.

Cuando es suma o resta los signos se respetan a menos de que al multiplicar signos tenga que cambiarse.


DERIVADA DEL PRODUCTO.
Formula:
f(x)I=ab´+ba´.

El primer termino que ta dan es “a” y el Segundo termino es “b”.
Para derivar se hace igual que en el tema anterior.
La comilla en la letra “a” y “b” significa que es al derivada.


Ejemplos:

a) f(x)= (4x-7)〖(5x〗^2+2)
f(x)= (4x-7)(10x)+ 〖(5x〗^2+2)(4)
f(x)= 40x^2-70x20x^2+8.
f(x)= 〖60x〗^2-70x+8.



b) y=〖6x〗^3(x^3-〖2x〗^2+4x-6)

y=〖6x〗^3(〖3x〗^2-4x+4)+( x^3-〖2x〗^2+4x6)(〖18x〗^2)

y=18x^5-24x^4+24x^3+18x^5-36x^4+72x^3-〖108x〗^2

y= 36x^5-60x^4+96x^3-108x^2


DERIVADA DE UN COCIENTE.

La fórmula para derivar una función cociente es:
f(x)= ba´-b´a
b^2

Ejemplos:
g(x)= x-3 a (numerador)
x^2-5 b (denominador)
a´=1
b´=2x

g´(x)=( x^2-5)(1)-(2x)(x-3)
〖(x〗^2-5x^2)

g(x)=-x^2-6x-5
〖(x〗^2-5x^2)


Y= x^2
〖x〗^2 + 5

Y´=x^2+5(2x)-(2x)(x^2)
x^2+ 5

Y´= 2x^3+10x-2x^3
(x^2 〖+5)〗^2

Y´= 10x
(x^2 〖+5)〗^2


REGLA DE LA CADENA.
La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones de grado superior (están elevadas por un exponente).

El exponente fuera de el paréntesis pasa a ser multiplicador de todo lo que hay dentro del paréntesis y el primer termino dentro de le paréntesis se pone despues de el paréntesis para multiplicar, después se multiplican los términos que están antes y después del paréntesis y lo demás pasa igual solo que a el exponente de el paréntesis se le resta una unidad.


Ejemplos:

a)f(x)= 〖(5x+4)〗^3
f´(x)=3〖(5x+4)〗^2(5)
f(x)= 15〖(5x+4)〗^3


b) y=(〖〖2x〗^2+5)〗^(3/2)
y=3/2〖〖(2x〗^2+5)〗^(1/2)(4x)
y= 12/2x=6x
y=6x〖〖(2x〗^2+5)〗^(1/2)

Parabolas con vertice en el origen y parabolas con vertice en un cuadrante.

PARÁBOLAS CON VERTICE EN EL ORIGEN y PARABOLAS CON VERTICE EN UN CUADRANTE.






La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cartesiano, cuya distancia a un ponto fijo; llamada foco: es igual a la distancia a una recta llamada directriz.

Cuando en la ecuación viene “Y=x”, la parábola abrirá hacia los lados, si “x” es positiva abre hacia la derecha y si es negativa hacia la izquierda.

Cuando en la ecuación viene “x=y” la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. Si “y” es positiva abre hacia arriba y si es negativa abre hacia abajo.


Ejemplo de parábola con vértice en el origen: x^2=-16y
Determina:
a) la abertura: abajo
b) el punto del foco: (0,a)
el valor de “a” se determina dividiendo el valor de y entre 4. Entonces el punto del foco seria (0,-4) porque a= -16/4=-4
c) el valor del lado recto: LR=4aLR=16
d) coordenadas del foco: (2a,a)(-2a,a) =(-8,-4)(8,-4)
e) directriz: d=-(a) d=4
f) ecuación de la directriz: y=4
g)grafica:




Ejemplo de una parábola con vértice en un cuadrante (vertical):
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice (2,3) y foco (6,3).
a=x-h a=6-2=4
(y-k) =4a(x-h)
(y-3) =16(x-2)
〖 y〗^2-6y+9=12x+24
〖 y〗^2-6y-16x+9+32=0
〖 y〗^2-6y-12x+41=0
a) la abertura: derecha
b)el valor del lado recto: LR=4aLR=16
c) coordenadas del foco: (h+a, k+2a) (h+a, k-2a)=(6,11) (6,-5)
d) directriz: d=h-a d=-2




Ejemplo de una parábola con vértice en un cuadrante (horizontal):
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice (3,5) y foco (3,4).
a=y-k =a-5 a=-1
(x-h) =4a(y-k)
(x-3) =4(-1-(-5))
x^2-6x+9=-4y+20
x^2-6x+4y+9-20=0
x^2-6x+4y-11=0
a) la abertura: abajo
b) el valor del lado recto: LR=4aLR=4
c) coordenadas del foco: (h-2a,k+a) (h+2a,k+a) (5,4) (1,4)
d) directriz: d=k-a d=5+1 d=6

Las secciones cónicas.

LAS SECCIONES CÓNICAS

Los círculos, parábolas, elipses e hipérbolas son curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano. La curva que se obtiene en cada corte depende de la inclinación del plano.

A estas curvas se les llama secciones cónicas.
son las figuras geometricamente que se obtienen mediante la interseccion de un cono circular recto o plano, si el plano ligeralmente inclinado el resultado es un elipse. si el plano es paralelo al costado del cono, se produce una parabola. si el plano corta ambas extensiones delo cono, produce una hiperabola.





Las figuras cónicas o secciones cónicas son las figuras geométricas que se obtienen cuando se interseca un cono circular recto de 2 mantas en un plano.

La ecuación ordinaria o reducida de la circunferencia es: (x-h)^2 +(y-k)^2 =r^2
(el simbolo ^ significa elevado).

Cuando se tiene el centro en el origen y te dan un determinado radio, siempre la ecuación quedara x +y =r
Ejemplo: coordenadas del centro C(0,0) y r=5
La ecuación quedaría x^2 +y^2 =25.

Cuando te dan puntos distintos al origen y un radio, se sustituyen los puntos en la ecuación ordinaria.
El primer punto de C será h y el segundo será K.
Ejemplo: C(-4,3) y r=5
Quedaría (x+4)^2 +(y-3)^ =25
Después se elevan todos los valores al cuadrado para poder encontrar la ecuación de la circunferencia.
La ecuación ya elevando los valores quedaría de la siguiente manera:
x^2 +y^2+8x+16+y–6y+9=25
x^2 +y^2 +8x-6y+25-25=0
x^2 +y^2 +8x-6y=0

Otro de los casos que se pueden presentar para poder encontrar la ecuación de la circunferencia podría ser cuando te den las coordenadas del centro y las coordenadas de un punto, pero aquí tu tienes que encontrar el radio.
Primero hay que sacar el radio con la sig. Ecuación d=(x2-x1)^2 +(y2-y1)^2
Y ya después los valores se sustituyen en la ecuación ordinaria de la circunferencia.
Ejemplo: C(7,5) p(3,-2)
d= (3-7)^2 +(-2-5)^2
d= 65
(x-7)^2 +(y-5)^2 = 65
x^2 +y^2 –14x-10y+74-65=0
x^2 +y^2 –14x-10y+9=0.

Por último, pueden pedirte la ecuación de la circunferencia, pero solo dándote los puntos de uno de sus diámetros, en estos casos primero hay que sacar los puntos medios de “x” y “y”, con las sig. Ecuaciones:
pmX=x1+x2/2 pmY=y1+y2/2. los puntos que den aquí serán los puntos de C y ya con estos puntos hay que sustituir los valores en la ecuación:
r =(x-h)^2 +(y-k)^2 donde los puntos “x” y “Y” serán las coordenadas del primer punto del diámetro y “h” y “k” las coordenadas del punto del centro.
Después ya con todos los valores se sustituye la ecuación ordinaria de la circunferencia y se termina el problema.